bounded_knapsack

完全背包

题目：

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N≤1000
0<V≤2000
0<vi,wi,si≤2000

提示：

本题考查多重背包的二进制优化方法。

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：

10

暴力解法：

暴力动态规划（只能解决N较小的情况）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=110;
int w[N],v[N],s[N];
int n,m;
int dp[N][N];

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            for(int k=0;k<=s[i]&&k*v[i]<=j;k++)
            {
                dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-v[i]*k]+w[i]*k);
            }
        }
    }
    cout<<dp[n][m];
    return 0;
}

二进制优化：

使用二进制优化将背包降至一维，利用倍增思想，将背包数量用二进制表示，如1+2+4+8+······，可以组成1~n之间的所有数，这样就将背包降至一维，将多重背包问题转换成01背包问题；

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=12010,M=2010;  //降至一维后，背包数量应开到(log(M)+1)*N
int v[N],w[N];
int dp[M];
int n,m;

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	
	cin>>n>>m;
	int cnt=0;//二进制优化
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int a,b,s;
		cin>>a>>b>>s;
		int k=1;
		while(k<s)
		{
			cnt++;
			v[cnt]=a*k;
			w[cnt]=b*k;
			s-=k;
			k*=2;
		}
		if(s>0)
		{
			cnt++;
			v[cnt]=a*s;
			w[cnt]=b*s;
		}
	}
	n=cnt;
	
	//转换成01背包问题
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=m;j>=v[i];j--)
		{
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
		}
	}
	cout<<dp[m];
	
	return 0;
}